無限に続く回路の合成抵抗

平成28年7月期のA-5問題が面白い。

上の図のような無限に続く回路の合成抵抗を求めろという問題だ。R1が100ΩでR2が39Ωだという。数学が好きな人間にとっては、無限と聞くとドキドキする。

私がやった結局解けなかった方法は、まず、下の図のように回路の縮約をする。すなわち、一組のR1とR2より向こうの合成抵抗を \(R^{n+1}_{ab}\)として、その手前の\(R^{n}_{ab}\)を求め、それを漸化式にして一般解を求め、nを無限大にすれば求まるはずだという思いだった。その漸化式は簡単に求まる。

$$R^{n}_{ab}=R_{1}+\frac{R_{2}R^{n+1}_{ab}}{R_{2}+R^{n+1}_{ab}}$$

が求める漸化式だ。しかし、かなりの時間を費やして、この漸化式の一般解が求められないか悩んだが、結局ダメだった。難解すぎる。

諦めて、吉川先生の回答をみた。すると、無限に続くから、\(R^{n}_{ab}=R^{n+1}_{ab}\)として求めればいいという。たしかに、この数列が収束すれば、それが言える。その方法で解くと、

$$R_{ab}=R_{1}+\frac{R_{2}R_{ab}}{R_{2}+R_{ab}}$$

を \(R_{ab}\)の二次式として解けばいい。吉川先生の解には、二次方程式の根の公式を求める解があった。それでいいのだが、数値を入れると、因数分解ができて、

$$(R_{ab}-130)(R_{ab}+30)=0$$

となり、抵抗が-30Ωはありえないので、130Ωになる。

今は時間がないが、いつかこの一般解を求めたい。あるいは、この記事をご覧になった方で、解けるかたがいたら教えて欲しい。