無限に続く回路の合成抵抗

平成28年7月期のA-5問題が面白い。

上の図のような無限に続く回路の合成抵抗を求めろという問題だ。R1が100ΩでR2が39Ωだという。数学が好きな人間にとっては、無限と聞くとドキドキする。

私がやった結局解けなかった方法は、まず、下の図のように回路の縮約をする。すなわち、一組のR1とR2より向こうの合成抵抗を \(R^{n+1}_{ab}\)として、その手前の\(R^{n}_{ab}\)を求め、それを漸化式にして一般解を求め、nを無限大にすれば求まるはずだという思いだった。その漸化式は簡単に求まる。

$$R^{n}_{ab}=R_{1}+\frac{R_{2}R^{n+1}_{ab}}{R_{2}+R^{n+1}_{ab}}$$

が求める漸化式だ。しかし、かなりの時間を費やして、この漸化式の一般解が求められないか悩んだが、結局ダメだった。難解すぎる。

諦めて、吉川先生の回答をみた。すると、無限に続くから、\(R^{n}_{ab}=R^{n+1}_{ab}\)として求めればいいという。たしかに、この数列が収束すれば、それが言える。その方法で解くと、

$$R_{ab}=R_{1}+\frac{R_{2}R_{ab}}{R_{2}+R_{ab}}$$

を \(R_{ab}\)の二次式として解けばいい。吉川先生の解には、二次方程式の根の公式を求める解があった。それでいいのだが、数値を入れると、因数分解ができて、

$$(R_{ab}-130)(R_{ab}+30)=0$$

となり、抵抗が-30Ωはありえないので、130Ωになる。

今は時間がないが、いつかこの一般解を求めたい。あるいは、この記事をご覧になった方で、解けるかたがいたら教えて欲しい。

尖鋭度Qと半値幅

絶対覚えようと思っていた簡単な公式が出てこなかった時の悔しさといったら。これが出てこずに、思わず公式集を机の上に投げ出した。罰としてここに書いておく。見たり書いたりするだけじゃダメなのだ。公式を暗唱する癖をつけておかないといけないと思った。

【直列共振回路】
$$ Q=\frac{\omega L}{R}=\frac{1}{\omega RC} \qquad B=\frac{f}{Q} $$

【並列共振回路】
$$ Q=\frac{R}{\omega L}=\omega RC \qquad B=\frac{f}{Q} $$

並列と直列では、\(Q\)は逆数になり、半値幅は同じだ。

発振回路の発振条件

発振条件は、リアクタンスX1とX2の符号が同じ(誘導性か容量性)で、X2とX3の符号が異なること。X2が誘導性の場合、ハートレー発振回路。容量性の場合、コルピッツ発振回路。水晶振動子は誘導性とみる。数式的条件。

$$ \frac{h_{fe}X_{2}}{X_{1}}>1 \qquad  X_{1}+X_{2}=-X_{3}$$